Геометрия, 11 класс. Тема: "Объёмы".

Vozdushna
Модераторы
Larus
Помогите, пожалуйста!

1. Апофема правильной треугольной пирамиды равна 4 см, а двугранный угол при основании равен 60 градусов. Найти объем пирамиды.

2. В конусе через его вершину под углом 45 градусов к плоскости основания проведена плоскость, отсекающая от окружности основания дугу 60 градусов. Радиус основания равен 6 см. Найти объем конуса.

3. В цилиндр вписана призма. Основанием призмы служит прямоугольный треугольник с катетом 2a и прилежащим углом 30 градусов. Диагональ большей боковой грани призмы составляет с плоскостью её основания угол 45 градусов. Найти объем цилиндра.

Нужно к вечеру воскресенья.

Спасибо! =)
Elena
Выжившие
Elena
1) Проводим высоту пирамиды и апофему, высота пусть будет DH, апофема DK, треугольник в основании пирамиды ABC. Рассматриваем треугольник DHK, DK=4, угол DKH 60 градусов(это по теореме о трех перпендикулярах). Треугольник прямоугольный, поэтому можно найти, во-первых, отрезок HK, он равен 2(лежит напротив угла 30градусов), это треть медианы треугольника основания(точкой пересечения медианы делятся в отношении 2:1), т.е. вся медиана, она же высота(тр-к правильный) равна 6, отсюда сторона треугольника ABC равна 4 корня из 3, откуда площадь 12корней из 3. Далее из того же тр-ка DHK находим высоту пирамиды, она равна 2 корня из 3. Находим объем, он равен 24(по формуле).

2) Высоту обзовем КО, проводим плоскость данную - это треугольник, равнобедренный, боковые стороны - образующие конуса, обзовем его КMN. Проводим в треугольнике высоту, обзовем ее КH. Аналогично предыдущей задаче будем рассматривать тр-к KOH с острым углом 45 градусов, откуда следует, что он равнобедренный. Значит, если найдем ОH - это же будет высота конуса. OH ищем из тр-ка MON, где OM=ON=r, угол MON=60 градусов по условию. OH=корень из 36-9=три корня из трех. Далее находим объем по формуле: 36пи корней из 3.

Если что-то непонятно объясняю - спрашивай)) Третью завтра решу)

3) Большая грань - эта та, что на гипотенузе.
Гипотенуза также является диаметром окружности(вписанный угол 90 градусов)
Т.к. угол 45 градусов - прямоугольный треугольник(диаметр окружности, диагональ большей грани, высота цилиндра) - равнобедренный. Т.е. высота равна диаметру окружности.
Рассматриваем треугольник - основание призмы. По т. Пифагора находим гипотенузу, она равна 4а делить на корень из 3.
Находим объем по формуле: пи*(2а делить на корень из трех в квадрате)*(4а делить на корень из 3)=16а(в кубе) делить на 3 корня из 3.
Vozdushna
Модераторы
Larus
Elena, ооо, спасибо большущее! Всё понятно, только в третьей что-то с углом в 45 град. не доходит, ну да ладно, это уже не так важно. Спасибо! =)